微积分是经济学谈判者的必备数学常识。从17世纪降生起，微积分就被平时用来处分物理和经济学等方面的无数优化问题。19世纪中世（1859年）以后，李善兰翻译了不少西方文章，微积分也启动传入中国。

底下，咱们一皆望望清朝时间的微积分讲义到底长什么样？

开首：陕视新闻

这或者即是看天书的嗅觉吧！

其实，古诗中也早已包含微积分念念想，以下四首诗通过荒诞的譬如和灵活的形象先容了一元微积分四个专题的主要念念想。

微分

凌波能信步，

愁城岂宽绰。

函数车载斗量，

一次最苟简。

函数车载斗量，变化多端，太复杂，难以谈判，犹如宽绰愁城。奈何逃出这个愁城？将难以谈判的函数鼎新为最苟简的一次函数来谈判，这即是微分。

金庸武侠演义段誉学了“凌波微步”的奔命功夫，虽能凌波而不千里入愁城，毕竟还需要堤防翼翼地“微步”，只怕格式太急太重陷入水中。咱们改成信步，不错迫害进退。有什么绝招不错如斯潇洒？绝招即是“一次最苟简”，将函数y=f (x)在每小数c隔邻用与之最接近的一次函数dy=y-f(c)=k(x-c)=kdx访佛代替，即是函数图象弧线在点(c,f(c))的切线方程，切线斜率k=f ’(c)即是导数，dy=f ’(c)dx即是微分。微分即是用一次函数代替函数，一次项所有即是导数。

水鸟暴露“凌波微步”手艺

Taylor（泰勒）伸开

漫天休问价，

迅速可还钱。

我有乘除加减，

翱翔天地间。

谈判一般的函数太遏制，犹如靠近“漫天要价”，难以勉强。将它酿成一次函数来谈判，这是“迅速还钱”。在很厚情况下，一次函数又过分苟简，精准度不够，这时不错再“涨小数价”。举例，谈判变化速率，一次就够了。谈判加快度，谈判迤逦历程，谈判极大极小值，一次不够，就用二次函数。咱们不会算三角函数、指数函数、对数函数这些“卓越函数”，只会算加减乘除。将卓越函数酿成一次、二次多项式，就不错通过加减乘除算出来。精准度淌若还不够，就用三次、四次甚至更高次数的多项式。通过晋升多项式的次数来晋升精准度，达到舒坦的历程。这即是Taylor伸开。无限地晋升次数，用无限级数不错达到皆备精准。这即是Taylor级数。凭借通过加减乘除算多项式这么苟简的手艺，就能在“卓越函数”这个“天”与“一次函数”这个“地”之间解放翱翔，登峰造极。

定积分

一帆难遇风顺，

一齐上下不屈，

平无为淡分秒，

编织百味东谈主生。

粗看起来，这首诗不是讲数学，而是讲东谈主生。东谈主生真贵一帆风顺，老是上下不屈。东谈主生由分分秒秒构成。每分每秒太已而，来不足有震天动地的功绩，常常很无为，但积存起来却不错编织成丰富多彩的东谈主生。

东谈主生犹如行船（供图/全景）

匀速开放的路程等于速率乘时间。然而，世界间的开放真贵有信得过匀速的，开放老是有快有慢，速率有大有小，不可获胜将速率乘时间。很短刹那间内速率来不足变化，不错访佛地作为匀速开放，将速率乘时间来打算路程。开放的时间段可分红一个个已而转眼，将每个已而转眼的速率乘时间得回已而路程的访佛值，将这些已而路程相加就得回总路程的访佛值。分红的已而转眼越短，流毒越小。无限细分，短路程之和就无限接近于总路程的精准值。这即是定积分。

分分秒秒的无为生计编织成精彩纷呈不无为的东谈主生。各个已而转眼访佛匀速的开放路程构成整个这个词变速开放。

原函数

量天何须苦登高，

借问星河落子虚乌有。

直下凡尘几万里，

几多里处宴蟠桃？

已知速率求路程，是求定积分，很难，好比登天去量天的高度相通难。

为什么一定要我方从下往上量天的高度呢？不错反过来从天上到地下度量。李白诗云“疑是星河落九天”。让星河度量一下从子虚乌有到凡尘的路程，不即是天的高度了吗？星河说从天到地九万里，就知谈从地到天九万里。星河说从玉阙往凡间走二里路处举行蟠桃宴，从凡间赶往天上差二里路到玉阙处有蟠桃吃。

李白诗云“疑是星河落九天”

由速率v(t) 求路程s(t)太难。反过来由路程s(t)求速率v(t)是求导数，相比容易。求一个函数F(t) 使它的导数是已知的速率 v(t)，这个函数F(t)是否即是路程呢? 不一定。F(t)不一定是路程，但一定是位置。最末时刻b的位置F(b)与当先时刻a的位置F(a)之差F(b)-F(a)即是路程s(t)，即是所求的定积分：

F(b)-F(a) =∫ab v(t) dt

定积分不仅是由速率v(t) 求路程，也不错是函数v(t)弧线与x轴之间所围面积S。

F(t) 即是 v(t) 的原函数。上述通过原函数求定积分的设施即是微积分基本定理，即是牛顿-莱布尼兹公式。

既然叫微积分基本定理，它虽然即是微积分中最枢纽的定理。最枢纽的定理的看法其实迥殊苟简：由下到上太遏制，酿成由上而下，将遏制的事情变苟简。

背负裁剪｜刘京 赵青云

运营裁剪｜赵青云

质地审核 | 岳焕琦 王维嘉

图文开首 | 《常识即是力量》杂志《一元微积分古诗趣读》，撰文/李尚志（北京航空航天大学），原文有批改，原创作品转载请注明开首。

常识即是力量

现订购2025年

订价360元